جوجل يحل المعادلة : كيف يصف الرياضيات مسار كرة السلة؟ المعادلات التربيعية في الخدمة
تفسر المعادلة التربيعية مسار تسديدة كرة السلة
هل تساءلت يومًا كيف يمكن للرياضيات التنبؤ بمسار الكرة أثناء الرميات؟ يتبع كرة السلة عند رميها شكلًا منحنيًا يشبه حرف U مقلوب، وهو ما يُعرف بالقطع المكافئ.
هذه الحركة ليست عشوائية، بل يمكن تمثيلها بمعادلة تربيعية من الشكل y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c، حيث يمثل xx المسافة الأفقية التي قطعتها الكرة، وyy ارتفاعها.
1) من الفيزياء إلى المعادلة التربيعية
عندما تغادر الكرة يد اللاعب، تتحرك كقذيفة تحت تأثير الجاذبية (مع تجاهل مقاومة الهواء لصيغة مبسطة). نكتب الحركة على مركبتين زمنيتين:
-
أفقيًا: x(t)=v0cosθ tx(t) = v_0\cos\theta \; t.
-
عموديًا: y(t)=y0+v0sinθ t−12gt2y(t) = y_0 + v_0\sin\theta \; t – \tfrac{1}{2}gt^2.
هنا:
v0v_0 = سرعة الإطلاق الابتدائية، θ\theta = زاوية الإطلاق فوق الأفقي، y0y_0 = ارتفاع إطلاق الكرة عن مستوى الأرض، وg≈9.81 m/s2g\approx 9.81\ \mathrm{m/s^2}.
نزيل الزمن tt باستعمال t=xv0cosθt = \dfrac{x}{v_0\cos\theta} ونضعه في معادلة y(t)y(t). بعد التبسيط نحصل على معادلة من الشكل التربيعي:
y(x)=−g2v02cos2θ x2 + (tanθ) x + y0 \boxed{\,y(x)= -\dfrac{g}{2v_0^{2}\cos^{2}\theta}\;x^{2} \;+\; (\tan\theta)\;x \;+\; y_0 \,}
وبذلك يصبح yy (الارتفاع) دالة تربيعية في xx (المسافة الأفقية)، أي شكل قطع مكافئ.
2) تفسير معاملات المعادلة y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
مطابقة المعادلات تعطينا:
-
a=−g2v02cos2θa = -\dfrac{g}{2v_0^{2}\cos^{2}\theta}. (سالب — لذلك القطع يفتح إلى أسفل).
-
b=tanθb = \tan\theta.
-
c=y0c = y_0.
تأثير المعاملات:
-
aa: يحدد انحناء المسار (كلما كبرت سرعة الإطلاق v0v_0 — قيمة ∣a∣|a| تقل والمسار يصبح “أقل انحناء”).
-
bb: يتحكم في الميل الابتدائي للمسار (زاوية الإطلاق).
-
cc: ارتفاع الإطلاق.
3) نقاط مهمة تحسبها بسهولة من المعادلة
-
قمة المسار (أعلى ارتفاع): xx-الإحداثي للقمة h=−b2ah = -\dfrac{b}{2a}. وارتفاع القمة k=y(h)k = y(h).
-
نقطة عند مسافة معينة xx: ببساطة نحسب y(x)=ax2+bx+cy(x)=ax^2+bx+c.
-
هل تسقط الكرة عند ارتفاع سلّة السلة؟ نحلّ المعادلة ax2+bx+(c−Hhoop)=0ax^2+bx+(c – H_{\text{hoop}})=0.
-
وجود جذور حقيقية يعني أن المسار يقطع ارتفاع السلة عند مسافتين (صعودًا وهبوطًا).
-
إذا كانت إحدى هذه المسافات تساوي المسافة إلى السلة، فمن المرجح أن الكرة تعبر عند ارتفاع السلة (بالتأكيد تحتاج زاوية وإحداثيات أفقية دقيقة لمركز السلة والقطر).
-
4) مثال رقمي عملي (حتى ترى الأرقام بوضوح)
افترض القيم التالية (قيم واقعية تقريبية لرمية من مسافة متوسطة):
-
سرعة الإطلاق v0=7.5 m/sv_0 = 7.5\ \mathrm{m/s}،
-
زاوية الإطلاق θ=50∘\theta = 50^\circ،
-
ارتفاع الإطلاق y0=2.00 my_0 = 2.00\ \mathrm{m} (ارتفاع اليد عند الرمية)،
-
تسارع الجاذبية g=9.81 m/s2g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}،
-
المسافة الأفقية إلى السلة تقريبًا xhoop=4.50 mx_{\text{hoop}} = 4.50\ \mathrm{m}،
-
ارتفاع مركز السلة Hhoop=3.05 mH_{\text{hoop}} = 3.05\ \mathrm{m}.
من الصيغة نحصل رقميًا على:
-
a≈−0.21105a \approx -0.21105
-
b≈1.19175b \approx 1.19175
-
c=2.00c = 2.00
حساب الارتفاع عند x=4.5x=4.5:
y(4.5)≈a(4.5)2+b(4.5)+c≈3.089 m.y(4.5)\approx a(4.5)^2 + b(4.5) + c \approx 3.089\ \mathrm{m}.
هذا يعني أن المسار عند موقع السلة أعلى قليلاً من ارتفاع السلة (3.05 م) — أي أن الكرة ستكون فوق مركز السلة عند تلك المسافة (فقط 0.039 م = 3.9 سم أعلى من مركز السلة في هذا المثال).
حساب تقاطعات المسار مع مستوى ارتفاع السلة بحل: ax2+bx+(c−3.05)=0ax^2+bx+(c-3.05)=0 أعطى جذورًا تقريبية عند:
x≈1.09 mوx≈4.55 m.x \approx 1.09\ \mathrm{m} \quad\text{و}\quad x \approx 4.55\ \mathrm{m}.
أي أنّ المسار يقطع ارتفاع السلة مرتين — الأولى أثناء الصعود (عند 1.09 م) والثانية أثناء الهبوط (عند ~4.55 م). وبما أن المسافة إلى السلة 4.50 م، فهي تقع قبل التقاطع الثاني بقليل، لذلك y(4.5)y(4.5) فعليًا أعلى من 3.05 م — ما يعطي احتمالية عبور مركز السلة (تحتاج أيضًا لاتساق عرضي ودقة صغيرة لتأكيد الدخول).
ملاحظة: هذه الحسابات تُفترض فيها أرضية مستوية، لا مقاومة هواء، وتركز على مركز السلة (إذا أردت حساب دخول حقيقي لا بد من مراعاة قطر السلة والبعد العرضي للكرة).
5) كيف تستخدم هذه المعادلات لتحديد نجاح الرمية عمليًا؟
-
إذا كان y(xhoop)y(x_{\text{hoop}}) قريبًا من HhoopH_{\text{hoop}} (ضمن نطاق صوتي/قطر السلة ~ ±0.23 م) والاتجاه العرضي مضبوط، فهناك احتمال كبير للنجاح.
-
معادلة القمة تعطي أفضل زاوية/سرعة لبلوغ أقصى ارتفاع مطلوب.
-
تحليل المميز (discriminant) للمعادلة ax2+bx+(c−H)=0ax^2+bx+(c-H)=0 يخبرك إن كان المسار يقطع مستوى السلة أم لا (بدون جذور لا يقطع المسار ذلك الارتفاع).
6) نصائح عملية مبنية على التحليل
-
لزيادة احتمال الدخول: إما رفع الزاوية قليلًا أو زيادة السرعة بحيث يصبح التقاطع الثاني للمسار عند مسافة السلة، أو ضبط ارتفاع الإطلاق.
-
إذا y(xhoop)y(x_{\text{hoop}}) أقل من ارتفاع السلة، زد السرعة أو زاوية الإطلاق.
-
إذا y(xhoop)y(x_{\text{hoop}}) أعلى بزيادة كبيرة فربما الكرة تمر فوق الخاتم — خفف السرعة أو زاوية الإطلاق.
الخلاصة (موجز)
مسار كرة السلة يمثل قطعًا مكافئًا يمكن وصفه بمعادلة تربيعية من الشكل y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c بعد استبعاد الزمن. معاملات a,b,ca,b,c مرتبطة بالجاذبية، السرعة الابتدائية، زاوية الاطلاق وارتفاع اليد. من خلال هذه المعادلة يمكنك حساب ارتفاع الكرة عند أي مسافة أفقية، معرفة الذروة، والتحقق ما إذا كان المسار يمر عند ارتفاع السلة — وهذه كلها أدوات مفيدة لتحليل وتعديل الرميات عمليًا.